關(guān)于曲線積分變量替換的探討
本文分析一個曲線積分問題中變量替換的技巧，解答中并非采用極坐標變換，而是利用三角函數(shù)代換簡化積分計算。
原積分式為：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$
解答采用如下?lián)Q元法：令 $y = \sin(t)$。由于積分區(qū)間 $y \in (0, 1)$，則 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在這個區(qū)間內(nèi)，$\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 均為正值。
代入換元后，積分式變?yōu)椋?/p>
$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}}d(\sin t)$
由于 $d(\sin t) = \cos t dt$，且 $\sqrt{1 - \sin^2t} = \cos t$ (在 $t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 區(qū)間內(nèi))，積分式可簡化為：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos t}\cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$
通過 $y = \sin(t)$ 的代換，巧妙地消去了根號，簡化了積分計算。 這體現(xiàn)了選擇恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q在簡化積分過程中的重要性。 與極坐標變換相比，此方法更直接有效地解決了該特定積分問題。 關(guān)鍵在于合理選擇換元變量并正確處理積分限和微分元素。
以上是曲線積分換元：為什么用y=sin(t)替換而非極坐標變換？的詳細內(nèi)容。更多信息請關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章！
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