極坐標(biāo)下二重積分?ydσ=0的巧妙證明及常見錯(cuò)誤分析
本文分析一道關(guān)於極坐標(biāo)下二重積分的題目，並解釋為什麼積分結(jié)果為零，以及計(jì)算過程中常見的錯(cuò)誤。題目中，積分區(qū)域?yàn)闃O坐標(biāo)方程r = ? (?)sinθ描述的心形區(qū)域，被積函數(shù)為f(x,y) = y。
利用對(duì)稱性快速求解：
關(guān)鍵在於觀察被積函數(shù)和積分區(qū)域的對(duì)稱性。被積函數(shù)y是關(guān)於y軸的奇函數(shù)，即f(x,-y) = -f(x,y)。同時(shí)，心形區(qū)域關(guān)於x軸對(duì)稱。這意味著對(duì)於區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y)，點(diǎn)(x,-y)也在區(qū)域內(nèi)。因此，在x軸上下兩部分區(qū)域上的積分值大小相等，符號(hào)相反，最終結(jié)果相互抵消，二重積分結(jié)果為零：
? σ y dσ = 0
更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)：
? σ f(x,y)dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f(x,y)dy = 0 (因?yàn)椤?y 0 -y 0 f(x,y)dy = 0)
常見錯(cuò)誤及正確解法：
許多同學(xué)嘗試使用極坐標(biāo)變換直接計(jì)算，但容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。正確的極坐標(biāo)積分步驟如下：
? σ y dσ = ∫ 0 2π ∫ 0 ? (?)sinθ (r sinθ) * r dr dθ = ∫ 0 2π ∫ 0 ? (?)sinθ r2 sinθ dr dθ
錯(cuò)誤通常發(fā)生在對(duì)r的積分之後，對(duì)θ的積分計(jì)算上。 一些同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地計(jì)算∫ 0 2π (? (?)sinθ) dθ，忽略了對(duì)常數(shù)項(xiàng)?的積分，或者錯(cuò)誤地認(rèn)為∫ 0 2π sinθ dθ不等於零。
正確計(jì)算步驟：
- 內(nèi)層積分(對(duì)r積分):
∫ 0 ? (?)sinθ r2 sinθ dr = [?r3 sinθ] 0 ? (?)sinθ = ?(? (?)sinθ)3 sinθ
- 外層積分(對(duì)θ積分):
∫ 0 2π ?(? (?)sinθ)3 sinθ dθ
這個(gè)積分雖然看起來複雜，但由於sinθ在[0, 2π]上的積分結(jié)果為0，且(? (?)sinθ)3是一個(gè)關(guān)於sinθ的奇函數(shù)，因此最終結(jié)果仍然為0。
總結(jié)：利用對(duì)稱性可以快速判斷該二重積分的結(jié)果為零，避免複雜的計(jì)算。 如果必須通過極坐標(biāo)積分計(jì)算，則需仔細(xì)計(jì)算內(nèi)外層積分，避免常見的計(jì)算錯(cuò)誤。 記住，對(duì)稱性分析是解決積分問題的一個(gè)強(qiáng)大工具。
以上是極坐標(biāo)下二重積分∫∫ydσ=0的原因是什麼？的詳細(xì)內(nèi)容。更多資訊請關(guān)注PHP中文網(wǎng)其他相關(guān)文章！
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Jul 31, 2025 pm 10:27 PM
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