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曲線積分変換:なぜ極座標(biāo)変換の代わりにy = sin(t)を使用するのですか?

Apr 19, 2025 pm 03:45 PM
cos 三角関數(shù) なぜ

曲線積分変換:なぜ極座標(biāo)変換の代わりにy = sin(t)を使用するのですか?

曲線積分変數(shù)の置換に関する議論

このペーパーでは、曲線の統(tǒng)合問題における可変置換の手法を分析します。答えは、極座標(biāo)変換を使用するのではなく、三角関數(shù)置換を使用して積分計(jì)算を簡(jiǎn)素化することです。

元の積分式は、$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $です

答えは、要素を交換する次の方法です。積分間隔$ y \ in(0、1)$、$ t \ in(0、\ frac {\ pi} {2})$。この間隔では、$ \ sin(t)$および$ \ cos(t)$はどちらも正の値です。

コンバーターを置き換えた後、積分式は次のようになります。

$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \

$ d(\ sin t)= \ cos t dt $、および$ \ sqrt {1 - \ sin^2t} = \ cos t $(0、\ frac {\ pi} {2})$の間隔)、積分は次のことを単純化できます。

$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ sin^2t dt $

$ y = \ sin(t)$の置換により、ルート番號(hào)は巧妙に排除され、積分計(jì)算が簡(jiǎn)素化されます。これは、統(tǒng)合プロセスを簡(jiǎn)素化する際に適切な変數(shù)置換を選択することの重要性を反映しています。極座標(biāo)変換と比較して、この方法は、この特定の統(tǒng)合的な問題をより直接的かつ効果的に解決します。重要なのは、変換変數(shù)を合理的に選択し、積分制限と微分要素を正しく処理することです。

以上が曲線積分変換:なぜ極座標(biāo)変換の代わりにy = sin(t)を使用するのですか?の詳細(xì)內(nèi)容です。詳細(xì)については、PHP 中國(guó)語 Web サイトの他の関連記事を參照してください。

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