Cet article vise à fournir une méthode mathématique efficace pour convertir l'index d'un tableau ou d'une liste unidimensionnelle en coordonnées (x, y, z) dans un espace tridimensionnel. En utilisant des opérations de division entière et de modulo, basées sur des paramètres de largeur et de hauteur prédéfinis, des opérations de cha?ne co?teuses et des recherches de dictionnaire peuvent être évitées, optimisant ainsi l'efficacité de l'accès aux données dans des applications à forte intensité de calcul telles que le rendu de voxel, et réalisant des transformations de coordonnées rapides et directes.

1. Considérations de contexte et d’efficacité

Le stockage des données et l'efficacité de l'accès sont essentiels lors du développement d'applications informatiques hautes performances telles que les traceurs de rayons voxel du processeur. La méthode traditionnelle de stockage de données de points 2D ou 3D dans un dictionnaire via des clés de cha?ne (par exemple "4,16"), bien qu'intuitive, implique une conversion de cha?ne et une recherche dans un dictionnaire, ce qui entra?ne une surcharge de performances significative lors de l'utilisation de grandes quantités de données. Pour améliorer l'efficacité, une stratégie d'optimisation courante consiste à stocker les données dans un tableau ou une liste unidimensionnelle ordonnée et à mapper l'index unidimensionnel directement sur des coordonnées spatiales multidimensionnelles via des opérations mathématiques.

Pour les données 2D, cette transformation est relativement simple. étant donné un indice unidimensionnel i et une largeur largeur, les coordonnées (x, y) correspondantes peuvent être facilement calculées?:

 importer des mathématiques

def index_vec2 (i : int, largeur : int)?:
    """
    Convertissez l'index 1D en coordonnées 2D (x, y) en fonction de la largeur.
    """
    x = je % largeur
    y = i // largeur # ou math.floor(i / width)
    retourner x, y

#Exemple?: avion 4x4# index_vec2(3, 4) -> (3, 0)
# index_vec2(4, 4) -> (0, 1)

2. Défis de la conversion de coordonnées 3D

En étendant la logique 2D ci-dessus à la 3D, le problème devient plus complexe. Nous avons besoin d'une fonction qui re?oit un indice unidimensionnel i ainsi que la largeur et la hauteur de l'espace tridimensionnel (en supposant que la profondeur peut être dérivée de la longueur totale et de la largeur*hauteur), et renvoie les coordonnées (x, y, z) correspondantes.

Une première tentative de fonction de transformation 3D pourrait ressembler à ceci?:

 # Tentative de conversion de coordonnées 3D incorrecte def index_vec3_incorrect(i: int, width: int, height: int):
    """
    Essayez de convertir les indices 1D en coordonnées 3D (x, y, z) (cela présente des problèmes).
    """
    x = math.floor(i % largeur)
    y = math.floor(i / largeur)
    z = math.floor(i / (largeur * hauteur))
    renvoyer x, y, z

Cependant, cette fonction rencontre des problèmes pour calculer la coordonnée y. Considérons un cube 4x4x4 (64 éléments au total), lorsque la couche z change, la coordonnée y n'est pas réinitialisée. Par exemple, lors du passage du premier niveau (z=0) au deuxième niveau (z=1), la valeur y continuera de cro?tre au lieu de recommencer à partir de 0.

Exemple de sortie d'erreur (en utilisant index_vec3_incorrect(i, 4, 4) pour itérer i de 0 à 63)?:

 ...
0,3,0
1,3,0
2,3,0
3,3,0 # A ce moment, la couche avec z=0 se termine et y atteint 3

0,4,1 # Entrez le niveau avec z=1, mais y devient 4 au lieu du 0 attendu
1,4,1
2,4,1
3,4,1
...

Comme le montre la sortie ci-dessus, lorsque z passe de 0 à 1, y ne revient pas à 0, mais continue de compter à partir de 4, ce qui est incompatible avec le comportement que nous attendons de la coordonnée y passant de 0 à hauteur-1 dans chaque couche z.

3. Corriger les principes mathématiques et leur mise en ?uvre

Pour convertir correctement l'index unidimensionnel i en coordonnées tridimensionnelles (x, y, z), nous devons comprendre comment l'index est mappé sur la grille 3D. Un maillage 3D peut être visualisé comme une pile de plusieurs couches 2D.

En supposant que nous ayons un espace voxel de largeur * hauteur * profondeur, l'indice i est généralement calculé comme suit?: i = z * (largeur * hauteur) y * largeur x

Nous pouvons obtenir (x, y, z) en travaillant à rebours?:

1. Calculez la coordonnée z?: la coordonnée z peut être obtenue en divisant l'indice total i par la taille d'un calque 2D (c'est-à-dire largeur * hauteur). z = i // (largeur * hauteur)

2. Calculez l'indice bidimensionnel dans la couche z actuelle?: après avoir calculé z, nous devons trouver l'indice relatif de i dans la couche z actuelle. Ceci peut être réalisé en prenant i modulo largeur * hauteur. reste_2d = i % (largeur * hauteur)

3. Calculez la coordonnée y?: nous avons maintenant retention_2d, qui représente l'index 2D dans la couche z actuelle. La coordonnée y peut être obtenue en divisant left_2d par la largeur. y = reste_2d //largeur

4. Calculez la coordonnée x?: Enfin, la coordonnée x peut être obtenue en prenant la largeur modulo restant_2d. x = reste_2d % largeur

La fonction intégrée de Python divmod(a, b) peut renvoyer (a // b, a % b) en même temps, ce qui rend le processus de calcul ci-dessus plus concis et efficace.

 def index_vec3(i : int, largeur : int, hauteur : int)?:
    """
    Convertissez efficacement les indices 1D en coordonnées 3D (x, y, z).
    """
    # Calculez d'abord la coordonnée z et l'indice 2D restant # z = i // (largeur * hauteur)
    # reste_2d = i % (largeur * hauteur)
    z, reste_2d = divmod(i, largeur * hauteur)

    # Calculez ensuite les coordonnées y et x à partir des indices 2D restants # y = reste_2d // largeur
    # x = reste_2d % largeur
    y, x = divmod(reste_2d, largeur)

    renvoyer x, y, z

4. Exemples et vérification

Utilisons la fonction index_vec3 modifiée pour vérifier un cube 4x4x4, en itérant i de 0 à 63?:

 # Vérifiez la largeur de fonction corrigée = 4
hauteur=4
profondeur = 4 # Dans cet exemple, profondeur = 64 / (4*4) = 4

print(f"Vérifier la conversion d'index du cube {width}x{height}x{profondeur}?:")
pour i dans la plage (largeur * hauteur * profondeur)?:
    x, y, z = index_vec3(i, largeur, hauteur)
    print(f"Index {i:2d} -> ({x},{y},{z})")

Exemple de sortie correcte (partie)?:

 ...
Indice 12 -> (0,3,0)
Indice 13 -> (1,3,0)
Indice 14 -> (2,3,0)
Index 15 -> (3,3,0) # z=0 la couche se termine, y atteint 3

Index 16 -> (0,0,1) # Entrez le calque z=1, y est réinitialisé avec succès à 0
Indice 17 -> (1,0,1)
Indice 18 -> (2,0,1)
Indice 19 -> (3,0,1)

Indice 20 -> (0,1,1)
Indice 21 -> (1,1,1)
Index 22 -> (2,1,1)
Indice 23 -> (3,1,1)
...
Indice 60 -> (0,3,3)
Index 61 -> (1,3,3)
Index 62 -> (2,3,3)
Index 63 -> (3,3,3)

Comme vous pouvez le voir sur le résultat, lorsque l'index i passe de 15 (x=3, y=3, z=0) à 16, z augmente jusqu'à 1 et y se réinitialise avec succès à 0, ce qui est le comportement correct auquel nous nous attendons.

5. Notes et résumé

• Avantage en termes de performances?: cette méthode de conversion basée sur des opérations mathématiques entières évite la surcharge liée à l'analyse des cha?nes, à la recherche de tables de hachage, etc., et permet un calcul direct avec une complexité temporelle O(1), ce qui est crucial pour les applications sensibles aux performances (telles que le rendu en temps réel).
• Indexation de base zéro?: toutes les coordonnées et index de cet article utilisent une indexation de base zéro (à partir de 0).
• Ordre des axes?: cette méthode suppose que les données sont stockées linéairement dans l'ordre du changement le plus rapide sur l'axe X, suivi de l'axe Y et enfin de l'axe Z. Si l'ordre de stockage est différent (par exemple, l'axe Z change le plus rapidement), l'ordre des paramètres du divmod doit être ajusté en conséquence.
• évolutivité : Cette idée mathématique de décollement des couches peut être étendue à l'espace à N dimensions en appliquant simplement les opérations divmod couche par couche.
• Fonction divmod : divmod est très efficace en Python car il calcule à la fois le quotient et le reste en une seule opération, ce qui peut être mieux que de faire // et % séparément.

En utilisant cette approche mathématique, les développeurs peuvent mapper efficacement et précisément les indices d'une liste ou d'un tableau unidimensionnel avec des coordonnées spatiales tridimensionnelles, ce qui entra?ne des améliorations significatives des performances lors du traitement de grandes quantités de données voxels.

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