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Was ist der Grund für das doppelte Integral ∫∫ydσ = 0 in polaren Koordinaten?
Was ist der Grund für das doppelte Integral ∫∫ydσ = 0 in polaren Koordinaten?
Apr 19, 2025 pm 05:03 PM
Cleverer Beweis für Doppelintegral ?ydσ = 0 unter polaren Koordinaten und gemeinsame Fehleranalyse
Dieser Artikel analysiert eine Frage zu doppelten Integralen unter polaren Koordinaten und erkl?rt, warum das Integralergebnis Null und h?ufiges Fehler im Berechnungsprozess ist. In der Frage ist die integrale Region die herzf?rmige Region, die durch die polare Koordinatengleichung r = ? (?) sinθ beschrieben wird, und die integrierte Funktion ist f (x, y) = y.
Schnelle L?sung mit Symmetrie:
Der Schlüssel besteht darin, die Symmetrie der integrierten Funktion und der integrierten Region zu beobachten. Die integrierte Funktion y ist eine merkwürdige Funktion über die y-Achse, d. H. F (x, -y) = -f (x, y). In der Zwischenzeit ist die herzf?rmige Region symmetrisch über die X-Achse. Dies bedeutet, dass für jeden Punkt (x, y) im Bereich der Punkt (x, -y) ebenfalls in der Gegend liegt. Daher sind die integralen Werte in den oberen und unteren Teilen der x-Achse in der Gr??e und dem Gegenteil der Symbole gleich.
? σ y dσ = 0
Strengerer mathematischer Ausdruck:
? σ f (x, y) dxdy = ∫dx ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0 (weil ∫ y 0 -y 0 f (x, y) dy = 0)
H?ufige Fehler und korrekte L?sungen:
Viele Schüler versuchen, die Polar -Koordinaten -Transformation zu verwenden, um direkt zu berechnen, aber Fehler sind anf?llig für eintreten. Die korrekten Polarkoordinaten -Integrationsschritte sind wie folgt:
? σ y dσ = ∫ 0 2π ∫ 0 ? (?) sin & thgr; ? (?) sin & t ( R sin θ) * r dr d & thgr ;
Ein Fehler tritt normalerweise nach dem Integral von R auf, und das Integral von θ wird berechnet. Einige Schüler berechnen f?lschlicherweise ∫ 0 2π (? (?) sinθ) dθ, ignorieren das Integral des konstanten Terms ? oder glauben f?lschlicherweise, dass ∫ 0 2π sinθ dθ nicht gleich Null ist.
Richtige Berechnungsschritte:
- Integral innenschicht (für R integral):
∫ 0 ? (?) sinθ r2 sinθ dr = [?r3 sin & thgr;] 0 ? (?) sinθ = ? (? (?) sinθ) 3 sin & thgr;
- ?u?ere Integration (Integration für θ):
∫ 0 2π ? (? (?) sinθ) 3 sin & tgr; dθ
Obwohl dieses Integral kompliziert erscheint, da das integrale Ergebnis von sinθ auf [0, 2π] 0 betr?gt und (? (?) sinθ) 3 eine seltsame Funktion über sinθ ist, ist das Endergebnis immer noch 0.
Zusammenfassung: Mit Symmetrie k?nnen wir schnell feststellen, dass das Ergebnis des Doppelintegrals Null ist und komplexe Berechnungen vermeiden. Wenn es notwendig ist, durch polares Integral zu berechnen, müssen die Integrale der inneren und ?u?eren Schicht sorgf?ltig berechnet werden, um h?ufige Berechnungsfehler zu vermeiden. Denken Sie daran, die Symmetrieanalyse ist ein leistungsstarkes Werkzeug, um das integrale Problem zu l?sen.
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Jul 31, 2025 pm 10:27 PM
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