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CURVE INTEGRAL -Umwandlung: Warum y = sin (t) anstelle einer polaren Koordinatentransformation verwenden?

Apr 19, 2025 pm 03:45 PM
cos Trigonometrische Funktionen Warum

CURVE INTEGRAL -Umwandlung: Warum y = sin (t) anstelle einer polaren Koordinatenumwandlung verwenden?

Diskussion über den Ersatz von Kurven -Integralvariablen

Dieses Papier analysiert die Techniken der variablen Substitution in einem Kurvenintegralproblem. Die Antwort besteht nicht darin, die polare Koordinaten -Transformation zu verwenden, sondern die trigonometrische Funktionsubstitution zu verwenden, um die integrale Berechnung zu vereinfachen.

Die ursprüngliche integrale Formel lautet: $ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy $

Die Antwort ist die folgende Methode zum Austausch des Elements: Sei $ y = \ sin (t) $. Da das integrale Intervall $ y \ in (0, 1) $ ist, dann $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $. In diesem Intervall sind $ \ sin (t) $ und $ \ cos (t) $ beide positive Werte.

Nach dem Ersetzen des Konverters wird die integrale Formel:

$ \ int_0^1 \ frac {y^2} {\ sqrt {1-y^2}} dy = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ sqrt {{1 \ sin^2t} d (\ sqrt {$ {1 \ sin^2t} d (\ sqrt {$ {$ {$ $)

Da $ d (\ sin t) = \ cos t dt $ und $ \ sqrt {1 - \ sin^2t} = \ cos t $ (im Intervall von $ t \ in (0, \ frac {\ pi} {2}) $) kann das Integral vereinfacht werden:

$ \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin^2t} {\ cos t} \ cos t dt = \ int_0^{\ frac {\ pi} {2}}} \ sin^2T dt $

Durch die Substitution von $ y = \ sin (t) $ wird die Wurzelzahl geschickt beseitigt und die integrale Berechnung vereinfacht. Dies spiegelt die Bedeutung der Auswahl der geeigneten variablen Substitution bei der Vereinfachung des Integrationsprozesses wider. Im Vergleich zur polaren Koordinatentransformation l?st diese Methode dieses spezifische integrale Problem direkter und effektiver. Der Schlüssel besteht darin, die Transmutationsvariable vernünftigerweise auszuw?hlen und die Integralgrenze und die Differentialelemente korrekt zu behandeln.

Das obige ist der detaillierte Inhalt vonCURVE INTEGRAL -Umwandlung: Warum y = sin (t) anstelle einer polaren Koordinatentransformation verwenden?. Für weitere Informationen folgen Sie bitte anderen verwandten Artikeln auf der PHP chinesischen Website!

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