Modulare Arithmetik und NTT-Optimierungen (Finite Field DFT)

Problem: Ich wollte verwenden NTT für schnelles Quadrieren (siehe Schnelle Bignum-Quadratberechnung), aber das Ergebnis ist selbst für wirklich gro?e Zahlen langsam. mehr als 12000 Bits.

Meine Frage lautet also:

1. Gibt es eine M?glichkeit, meine zu optimieren? NTT-Transformation?
   
   Ich wollte es nicht durch Parallelit?t (Threads) beschleunigen; Dies ist nur eine Low-Level-Ebene.


2. Gibt es eine M?glichkeit, meine modulare Arithmetik zu beschleunigen?

Dies ist mein (bereits optimierter) Quellcode in C für NTT (er ist vollst?ndig und funktioniert zu 100 % in C). ohne dass Bibliotheken von Drittanbietern erforderlich sind, und sollte au?erdem threadsicher sein. Beachten Sie, dass das Quellarray nur als tempor?res Array verwendet wird!!! Au?erdem kann es das Array nicht in sich selbst umwandeln.

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class fourier_NTT                                    // Number theoretic transform
    {

public:
    DWORD r,L,p,N;
    DWORD W,iW,rN;
    fourier_NTT(){ r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; }

    // main interface
    void  NTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n=0);               // DWORD dst[n] = fast  NTT(DWORD src[n])
    void INTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n=0);               // DWORD dst[n] = fast INTT(DWORD src[n])

    // Helper functions
    bool init(DWORD n);                                       // init r,L,p,W,iW,rN
    void  NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w);    // DWORD dst[n] = fast  NTT(DWORD src[n])

    // Only for testing
    void  NTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w);    // DWORD dst[n] = slow  NTT(DWORD src[n])
    void INTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w);    // DWORD dst[n] = slow INTT(DWORD src[n])

    // DWORD arithmetics
    DWORD shl(DWORD a);
    DWORD shr(DWORD a);

    // Modular arithmetics
    DWORD mod(DWORD a);
    DWORD modadd(DWORD a,DWORD b);
    DWORD modsub(DWORD a,DWORD b);
    DWORD modmul(DWORD a,DWORD b);
    DWORD modpow(DWORD a,DWORD b);
    };

//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n)
    {
    if (n>0) init(n);
    NTT_fast(dst,src,N,W);
//    NTT_slow(dst,src,N,W);
    }

//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::INTT(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n)
    {
    if (n>0) init(n);
    NTT_fast(dst,src,N,iW);
    for (DWORD i=0;i<N;i++) dst[i]=modmul(dst[i],rN);
       //    INTT_slow(dst,src,N,W);
    }

//---------------------------------------------------------------------------
bool fourier_NTT::init(DWORD n)
    {
    // (max(src[])^2)*n < p else NTT overflow can ocur !!!
    r=2; p=0xC0000001; if ((n<2)||(n>0x10000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x30000000/n; // 32:30 bit best for unsigned 32 bit
//    r=2; p=0x78000001; if ((n<2)||(n>0x04000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x3c000000/n; // 31:27 bit best for signed 32 bit
//    r=2; p=0x00010001; if ((n<2)||(n>0x00000020)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x00000020/n; // 17:16 bit best for 16 bit
//    r=2; p=0x0a000001; if ((n<2)||(n>0x01000000)) { r=0; L=0; p=0; W=0; iW=0; rN=0; N=0; return false; } L=0x01000000/n; // 28:25 bit
     N=n;                // size of vectors [DWORDs]
     W=modpow(r,    L);    // Wn for NTT
    iW=modpow(r,p-1-L);    // Wn for INTT
    rN=modpow(n,p-2  );    // scale for INTT
    return true;
    }

//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_fast(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
    {
    if (n<=1) { if (n==1) dst[0]=src[0]; return; }
    DWORD i,j,a0,a1,n2=n>>1,w2=modmul(w,w);
    // reorder even,odd
    for (i=0,j=0;i<n2;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
    for (    j=1;i<n ;i++,j+=2) dst[i]=src[j];
    // recursion
    NTT_fast(src   ,dst   ,n2,w2);    // even
    NTT_fast(src+n2,dst+n2,n2,w2);    // odd
    // restore results
    for (w2=1,i=0,j=n2;i<n2;i++,j++,w2=modmul(w2,w))
        {
        a0=src[i];
        a1=modmul(src[j],w2);
        dst[i]=modadd(a0,a1);
        dst[j]=modsub(a0,a1);
        }
    }

//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT:: NTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
    {
    DWORD i,j,wj,wi,a,n2=n>>1;
    for (wj=1,j=0;j<n;j++)
        {
        a=0;
        for (wi=1,i=0;i<n;i++)
            {
            a=modadd(a,modmul(wi,src[i]));
            wi=modmul(wi,wj);
            }
        dst[j]=a;
        wj=modmul(wj,w);
        }
    }

//---------------------------------------------------------------------------
void fourier_NTT::INTT_slow(DWORD *dst,DWORD *src,DWORD n,DWORD w)
    {
    DWORD i,j,wi=1,wj=1,a,n2=n>>1;
    for (wj=1,j=0;j<n;j++)
        {
        a=0;
        for (wi=1,i=0;i<n;i++)
            {
            a=modadd(a,modmul(wi,src[i]));
            wi=modmul(wi,wj);
            }
        dst[j]=modmul(a,rN);
        wj=modmul(wj,iW);
        }
    }

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